非局所性の起源

エヴェレットによる量子力学の定式化 で、EPR現象 がどのように理解されるか見てみましょう。初めに、粒子1と粒子2からなる観測対象が次のような状態になっていたとします:

sum_{ij} C_{ij} |X_i>_1 |X_j>_2

ここで、X_i は物理量 X の i 番目の固有値、|X_i> はその固有値に対する固有ベクトルを示します。また、|> に付けたインデックスで粒子1の状態と粒子2の状態を区別することにします。この状態で、観測者1が粒子1の物理量 X を観測すると、

U_1 |X_i>_1 |>_2 |[]>_1 |[]>_2 = |X_i>_1 |[X_i]>_1 |>_2 |[]>_2  

となります。ここで、|[X_i]>_1 は、X_i を観測値として得た観測者1の状態で、U_1 は、時間発展演算子です。粒子1と観測者1との相互作用は局所的ですので、観測者1による粒子1の観測は、遠方にいる観測者2の状態 |[]>_2 には何の影響も与えません。

次に、観測者2が粒子2について、X と交換しない Y を観測する場合を考えます。この場合も、粒子2と観測者2との相互作用は局所的ですので、観測者2による粒子2の観測は、遠方にいる観測者1の状態 |[]>_1 には何の影響も与えません。従って、

U_2 |>_1 |X_j>_2 |[]>_1 |[]>_2
  = |>_1 |[]>_1 sum_j' _2<Y_j'|X_j>_2 |Y_j'>_2 |[Y_j']>_2

となります。(このように、この定式化によれば、EPR現象を通して、情報を片方の観測者から遠方にいるもう片方の観測者へ送ることが不可能なことは自明です。)

以上より、全体の状態ベクトルは、

U_1 U_2 sum_{ij} C_{ij} |X_i>_1 |X_j>_2 |[]>_1 |[]>_2

  = sum_{ij'} |X_i>_1 |[X_i]>_1
    \otimes {sum_j C_{ij} _2<Y_j'|X_j>_2} |Y_j'>_2 |[Y_j']>_2

  = sum_{ij'} K_{ij'} |X_i,Y_j'>|[(X_i,Y_j')]>

となります。ここで、

       def
K_{ij'} = sum_j C_{ij} _2<Y_j'|X_j>_2

          def
|X_i,Y_j'> =  |X_i>_1 |Y_j'>_2 

              def
|[(X_i,Y_j')]> = |[X_i]>_1 |[Y_j']>_2

初めに考えた2粒子状態と全く同じ状態にある2粒子を N 対用意し、順次観測していくと、全体の状態ベクトルは、

K_{ii'} K_{jj'} ... K_{kk'} |X_i,Y_i'>|X_j,Y_j'> ...|X_k,Y_k'>
  \otimes |[(X_i,Y_i')(X_j,Y_j') ...(X_k,Y_k')]>

                                      def
|[(X_i,Y_i')(X_j,Y_j') ...(X_k,Y_k')]> = |[X_i X_j ... X_k]>
                                          \otimes |[Y_i' Y_j' ... Y_k']>

となりますが、 [...] に現れる (X_p,Y_p') の数は、 N -> 無限大 の極限で、全ての観測者の対(測度ゼロの状態を除く)について、|K_{pp'}|^2 N になっています。従って、(X_p,Y_p') というペアが現れる確率 P(X_p,Y_p') は

P(X_p,Y_p') = |K_{pp'}|^2
            = sum_{qr} C^*_{pq} C_{pr} <X_q|Y_p'><Y_p'|X_r>

となります。スピン 1/2 粒子の対が一重項になっている場合、

C_{00} = 0
C_{01} = 1/sqrt(2)
C_{10} = -1/sqrt(2)
C_{11} = 0

ですので、|u> 及び |d> を、それぞれスピンの Z 成分が 1/2 及び -1/2 のときの固有ベクトル、|u'> 及び |d'> を、それぞれスピンの Z' 成分が 1/2 及び -1/2 のときの固有ベクトル、a を Z 軸と Z'軸のなす角とすると、

<d|d'> = cos(a/2)
<d|u'> = -i sin(a/2)
<u|d'> = -i sin(a/2)
<u|u'> = cos(a/2)

となり、これから、

P(dd') = 1/2 sin^2 (a/2)
P(du') = 1/2 cos^2 (a/2)
P(ud') = 1/2 cos^2 (a/2)
P(uu') = 1/2 sin^2 (a/2)

が得られます。 これは、波束の収縮を仮定して導出した結果 と一致します。

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© 1996-2017 Toshifumi Sakaguchi